前文提到过，除了开方检验（chi）以外，信息增益（ig，information gain）也是很有效的特征选择方法。但凡是特征选择，总是在将特征的重要程度量化之后再进行选择，而如何量化特征的重要性，就成了各种方法间最大的不同。开方检验中使用特征与类别间的关联性来进行这个量化，关联性越强，特征得分越高，该特征越应该被保留。

在信息增益中，重要性的衡量标准就是看特征能够为分类系统带来多少信息，带来的信息越多，该特征越重要。

因此先回忆一下信息论中有关信息量（就是“熵”）的定义。说有这么一个变量x，它可能的取值有n多种，分别是x1，x2，……，xn，每一种取到的概率分别是p1，p2，……，pn，那么x的熵就定义为：

意思就是一个变量可能的变化越多（反而跟变量具体的取值没有任何关系，只和值的种类多少以及发生概率有关），它携带的信息量就越大（因此我一直觉得我们的政策法规信息量非常大，因为它变化很多，基本朝令夕改，笑）。

对分类系统来说，类别c是变量，它可能的取值是c1，c2，……，cn，而每一个类别出现的概率是p(c1)，p(c2)，……，p(cn)，因此n就是类别的总数。此时分类系统的熵就可以表示为：

有同学说不好理解呀，这样想就好了，文本分类系统的作用就是输出一个表示文本属于哪个类别的值，而这个值可能是c1，c2，……，cn，因此这个值所携带的信息量就是上式中的这么多。

信息增益是针对一个一个的特征而言的，就是看一个特征t，系统有它和没它的时候信息量各是多少，两者的差值就是这个特征给系统带来的信息量，即增益。系统含有特征t的时候信息量很好计算，就是刚才的式子，它表示的是包含所有特征时系统的信息量。

问题是当系统不包含t时，信息量如何计算？我们换个角度想问题，把系统要做的事情想象成这样：说教室里有很多座位，学生们每次上课进来的时候可以随便坐，因而变化是很大的（无数种可能的座次情况）；但是现在有一个座位，看黑板很清楚，听老师讲也很清楚，于是校长的小舅子的姐姐的女儿托关系（真辗转啊），把这个座位定下来了，每次只能给她坐，别人不行，此时情况怎样？对于座次的可能情况来说，我们很容易看出以下两种情况是等价的：（1）教室里没有这个座位；（2）教室里虽然有这个座位，但其他人不能坐（因为反正它也不能参与到变化中来，它是不变的）。

对应到我们的系统中，就是下面的等价：（1）系统不包含特征t；（2）系统虽然包含特征t，但是t已经固定了，不能变化。

我们计算分类系统不包含特征t的时候，就使用情况（2）来代替，就是计算当一个特征t不能变化时，系统的信息量是多少。这个信息量其实也有专门的名称，就叫做“条件熵”，条件嘛，自然就是指“t已经固定“这个条件。

但是问题接踵而至，例如一个特征x，它可能的取值有n多种（x1，x2，……，xn），当计算条件熵而需要把它固定的时候，要把它固定在哪一个值上呢？答案是每一种可能都要固定一下，计算n个值，然后取均值才是条件熵。而取均值也不是简单的加一加然后除以n，而是要用每个值出现的概率来算平均（简单理解，就是一个值出现的可能性比较大，固定在它上面时算出来的信息量占的比重就要多一些）。

因此有这样两个条件熵的表达式：

这是指特征x被固定为值xi时的条件熵，

这是指特征x被固定时的条件熵，注意与上式在意义上的区别。从刚才计算均值的讨论可以看出来，第二个式子与第一个式子的关系就是：

具体到我们文本分类系统中的特征t，t有几个可能的值呢？注意t是指一个固定的特征，比如他就是指关键词“经济”或者“体育”，当我们说特征“经济”可能的取值时，实际上只有两个，“经济”要么出现，要么不出现。一般的，t的取值只有t（代表t出现）和（代表t不出现），注意系统包含t但t 不出现与系统根本不包含t可是两回事。

因此固定t时系统的条件熵就有了，为了区别t出现时的符号与特征t本身的符号，我们用t代表特征，而用t代表t出现，那么：

与刚才的式子对照一下，含义很清楚对吧，p(t)就是t出现的概率，就是t不出现的概率。这个式子可以进一步展开，其中的

另一半就可以展开为：

因此特征t给系统带来的信息增益就可以写成系统原本的熵与固定特征t后的条件熵之差：

公式中的东西看上去很多，其实也都很好计算。比如p(ci)，表示类别ci出现的概率，其实只要用1除以类别总数就得到了（这是说你平等的看待每个类别而忽略它们的大小时这样算，如果考虑了大小就要把大小的影响加进去）。再比如p(t)，就是特征t出现的概率，只要用出现过t的文档数除以总文档数就可以了，再比如p(ci|t)表示出现t的时候，类别ci出现的概率，只要用出现了t并且属于类别ci的文档数除以出现了t的文档数就可以了。

从以上讨论中可以看出，信息增益也是考虑了特征出现和不出现两种情况，与开方检验一样，是比较全面的，因而效果不错。但信息增益最大的问题还在于它只能考察特征对整个系统的贡献，而不能具体到某个类别上，这就使得它只适合用来做所谓“全局”的特征选择（指所有的类都使用相同的特征集合），而无法做“本地”的特征选择（每个类别有自己的特征集合，因为有的词，对这个类别很有区分度，对另一个类别则无足轻重）。

看看，导出的过程其实很简单，没有什么神秘的对不对。可有的学术论文里就喜欢把这种本来很直白的东西写得很晦涩，仿佛只有读者看不懂才是作者的真正成功。

咱们是新一代的学者，咱们没有知识不怕被别人看出来，咱们有知识也不怕教给别人。所以咱都把事情说简单点，说明白点，大家好，才是真的好。